Fibonacci----Thật đẹp

          1 Fibonacci.....số phi .....Tỉ số vàng
Trước hết hãy để chúng tôi xem xét các số Fibonacci là các số nào. Chuỗi Fibonacci như sau:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
Chuỗi này tăng theo một tỷ lệ không đổi, tỷ lệ số vô tỷ. Nói cách khác, nó biểu thị cho một con số với một chuỗi vô hạn, khó dự đoán của các số thập phân, không thể được diễn tả một cách chính xác. Để ngắn gọn, gọi đó là số 1.618. Hiện tại, chuỗi này thường được xem là con số vàng. Trong đại số, nó thường được biểu thị bằng ký hiệu Hy Lạp, Phi= 1.618
Có thể nhận thấy Quy luật tiệm cận của dãy số và giảm dần của tỷ lệ số khi xem xét quan hệ của những số đầu tiên của dãy số. Ví dụ dưới đây minh họa mối liên hệ giữa số thứ hai so với số thứ nhất, mối liên hệ giữa số thứ ba so với số thứ hai, và cứ thế tiếp tục:

1. 1:1 = 1.0000 nhỏ hơn số phi 0.6180
2. 2:1 = 2.0000 nhỏ hơn số phi 0.3820
3. 3:2 = 1.5000 nhỏ hơn số phi 0.1180
4. 5:3 = 1.6667 nhỏ hơn số phi 0.0486
5. 8:5 = 1.6000 nhỏ hơn số phi 0.0180

Khi chuỗi Fibonacci tiếp tục mở rộng, mỗi số sẽ chia tiếp cho số tiếp theo, và tiến gần hơn đến số Phi. Dao động của tỷ số quanh giá trị 1.618 để đạt một giá trị thấp hơn hoặc cao hơn khi sử dụng lý thuyết sóng Elliot. (Để hiểu về sóng Elliot, tham khảo Lý thuyết sóng Elliot và Sóng Elliot trong Thế kỷ 21)
Trong nhiều trường hợp, con người thường tìm kiếm tỷ lệ vàng trong tiềm thức. Chẳng hạn, xét về tâm lý, các nhà giao dịch thường không thích những xu hướng quá dài. Phân tích biểu đồ có nhiều điểm tương đồng với tự nhiên, nơi mà mọi sự vật dựa trên tỷ lệ vàng đều được sắp xếp một cách hợp lý hơn hẳn những sự vật không tuân theo dãy số trên. Điều này, một phần nào đó lý giải tại sao cảm giác bất hợp lý về một xu hướng lâu dài lại tăng khi tỷ lệ so với tỷ lệ vàng trở nên dài bất thường.
 Càng tiếp tục lên cao tỉ số càng gần bằng số phi tỉ lệ vàng
    2. Fibonacci một khám phá bất ngờ
Bây giờ, nếu bạn đem nhân đôi một số hạng bất kỳ rồi trừ đi số hạng kế tiếp nó thì kết quả sẽ bằng số hạng đứng trước nó 2 vị trí:
3 * 2 - 5 = 1
5 * 2 - 8 = 2

8 * 2 - 13 = 5
.........

     3 fibonacci tính nhẫm cho bạn
Nếu bạn biết được điều thú vị sau đây của dãy Fibonacci thì bạn sẽ luôn luôn thắng trong mọi cuộc đố vui tính nhẩm liên quan đến dãy số này. Và, vì thế, trò chơi này thường được gọi tên là tính nhẩm Fibonacci.
Viết dãy Fibonacci (F) theo dạng cột, và gạch dưới 1 số bất kỳ trong cột này. Tổng của các số nằm ở phía trên đường kẻ luôn luôn bằng số hạng thứ 2 sau đường kẻ trừ đi 1.
Giả sử bạn gạch dưới số 21. thì tổng các số phía trên đường kẻ là : 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 54 . Còn số hạng đứng dưới đường kẻ 2 vị trí là 55.
Hay bạn gạch dưới số 233 thì chắc chắn tồng các chữ số từ số ở vị trí đầu tiên đến số 233 sẽ phải bằng 610 - 1 = 609.
Do vậy, trò chơi này chắc chắn sẽ làm ngơ ngẩn những ai không quen thuộc với dãy số Fibonacci. Các con số ở đây dường như được chọn ngẫu nhiên, nhưng bí mật của trò ảo thuật nằm ở chỗ đáp số luôn luôn bằng số thứ hai sau nó trừ đi 1.
http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA&feature=player_embedded#at=188 ( vào đây xem vẻ đẹp của fibonacci trong tự nhiên ha)
    fibonacci thật đẹp 

Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 0 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó. Công thức truy hồi của dãy Fibonacci là: X(0)=0, X(1)=1, X(n)=X(n-1)+X(n-2), n>1. 39 phần tử đầu tiên của dãy Fibonacci được cho trong bảng sau

n	X(n)	n	X(n)	n	X(n)
0	0	1	1	2	1
3	2	4	3	5	5
6	8	7	13	8	21
9	34	10	55	11	89
12	144	13	233	14	377
15	610	16	987	17	1.597
18	2.584	19	4.181	20	6.765
21	10.946	22	17.711	23	28.657
24	46.368	25	75.025	26	121.393
27	196.418	28	317.811	29	514.229
30	832.040	31	1.346.269	32	2.178.309
33	3.524.578	34	5.702.887	35	9.227.465
36	14.930.352	37	24.157.817	38	39.088.169
...	...	...	...	...	...

Người ta chứng minh được công thức tổng quát của dãy Fibonacci là: