away_foryou96: Phương Trình bậc hai ...

Bài 1. Phương trình bậc hai I. Tóm tắt lý ‎thuyết:
1. Định nghĩa: Là phương trình có dạng:

, trong đó

là các số thực cho trước và

.
2. Cách giải: Đặt

. Ta có:

nên:
* Nếu

thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

.
* Nếu

thì phương trình có nghiệm kép

.
* Nếu

thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý : Nếu

thì ta dùng công thức thu gọn.

.
3. Định lí Viét:
Định lí: Nếu phương trình bậc hai

có hai nghiệm

thì ta có:

.

Chú ý : * Định lí Viet chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ, do đó trước khi sử dụng định lí Viet ta phải tìm điều kiện cho phương trình bậc hai có nghiệm .
* Đảo lại ta có: “ Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó (nếu có) là nghiệm của phương trình :

.

II. Các ví dụ

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình :

(1)

Giải:
*

, khi đó

.
*

, khi đó (1) là phương trình bậc hai có:

.
i)

vô nghiệm
ii)

có nghiệm kép:

.
iii)

có hai nghiệm phân biệt

.
Kết luận: *

phương trình có một nghiệm

phương trình vô nghiệm.
*

phương trình có nghiệm kép

.
*

phương trình có hai nghiệm phân biệt:

.
Chú ý : 1) Giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xem xét với giá trị nào của tham số thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó.
2) Các bạn thử đặt câu hỏi vì sao chúng ta lại đi xét các trường hợp như trên ? Nhiều bạn vào bài là tính ngay biệt thức

rồi xét dấu nó! Các bạn lưu ý:
chỉ sử dụng

khi đó là phương trình bậc hai, mà phương trình ban đầu ở trên chưa phải là phương trình bậc hai ( Vì hệ số

chưa khác 0).

Ví dụ 2: Cho phương trình :

(1), m là tham số.
1) Giải phương trình khi

.
2) Giải và biện luận phương trình (1) theo m.

Giải:
1) Với

thì (1) trở thành:

.
Phương trình này có hai nghiệm:

.
2) Ta xét hai trường hợp sau:
TH 1:

, khi đó (1) trở thành:

phương trình vô nghiệm.
TH 2:

khi đó (1) là phương trình bậc hai có

* Nếu

có hai nghiệm phân biệt

* Nếu

vô nghiệm.
KL: *

vô nghiệm
*

có hai nghiệm phân biệt:

.

Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình

theo a,b.

Giải: Điều kiện:

(*)
PT

(**)

Nếu phương trình vô nghiệm.
Nếu [IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?ab%20=%200%20%5CRightarrow%20%28**%29%20 %5CLeftrightarrow%20x%20=%200[/IMG] nghiệm này không thỏa mãn (*)phương trình vô nghiệm.
[IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?ab%20%3E%200%20%5CRightarrow%20%28**%29% 20%5CLeftrightarrow%20x%20=%20%5Cpm%20%5Csqrt%20%7 Bab%7D[/IMG]

Nghiệm

thỏa mãn (*)

.
Nghiệm

thỏa mãn (*)

.
Tóm lại:
* Nếu

thì phương trình vô nghiệm.
* Nếu

phương trình có một nghiệm

.
* Nếu

phương trình có hai nghiệm

.

Chú ý : 1) Với những dạng phương trình dạng này cái khó đối với các em HS là: sau khi biến đổi đưa về phương trình bậc hai và giải phương trình này thì ta phải đối chiếu với điều kiện để loại trong những trường hợp nghiệm không thỏa điều kiện bài toán.
2) Ở trên ta đã đi giải và biện luận phương trình, tức là phải xét các khả năng về nghiệm của phương trình. Tiếp theo ta xét một số bài toán mà chỉ đề cập đến một trường hợp về nghiệm của phương trình .

Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu

là độ dài các cạnh của một tam giác thì phương trình sau vô nghiệm:

.

Giải: Phương trình đã cho là một phương trình bậc hai ( Vì

) nên để chứng minh phương trình vô nghiệm ta chỉ cần chứng minh biệt thức

. Hơn nữa giả thiết bài toán cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác, do đó trước lúc giải bài này các em cần nhớ lại: độ dài ba cạnh tam giác có những tính chất gì ? Ta sẽ dựa vào những tính chất đó để chứng minh bài toán.
Ta có:

Vì

là độ dài ba cạnh tam giác nên :

còn

dẫn đến

phương trình đã cho vô nghiệm.

Chú ý : Để chứng minh

ngoài cách đã nêu trên còn có cách khác là sử dụng định lí hàm số côsin. Cụ thể:

.

Ví dụ 5: Cho phương trình:

(1)

vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai phương trình sau có một phương trình vô nghiệm và một phương trình có nghiệm:

(2) và

(3).

Giải:
Vì (1) vô nghiệm nên ta có:

(*)
Phương trình (2) có:

; PT (3) có:

Nên (*)

trong hai số

luôn có một số dương và một số âm dẫn đến trong hai phương trình (2) và (3) luôn có một phương trình có nghiệm và một phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 6: Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương trình có nghiệm:

.

Giải:
Nếu trong ba số a,b,c có một số bằng 0, chẳng hạn

có nghiệm

.
Ta xét

là các số thực khác 0, khi đó ba phương trình đã cho là ba phương trình bậc hai lần lượt có biệt thức

.
Để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh trong ba biệt thức trên tồn tại ít nhất một biệt thức không âm. Để làm điều này ta đi xét tổng của ba biệt thức đó.
Ta có:

.
Suy ra trong ba số

có ít nhất một số không âm hay ba phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm.
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chú ý :
1) Để chứng minh trong n số

có ít nhất một số không âm (hoặc một số không dương) ta chỉ cần chứng minh tổng

, trong đó

.
2) Để chứng minh một phương trình bậc hai

có nghiệm ngoài cách chứng minh

ta còn có cách khác như sau :
“ Chỉ ra số thực

hoặc hai số thực

sao cho:

”.
Chứng minh:
Vì

phương trình có nghiệm.

trong hai số

và

có một số không dương, tức là

hoặc

phương trình có nghiệm.

Ví dụ 7: Cho

là các số thực có tổng khác 0. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghệm:

(1).

Giải:
Cách 1: (1)

(2).
Vì

nên (2) là phương trình bậc hai, do đó để chứng minh phương trình có nghiệm ta chỉ cần chứng minh

.
Ta có:

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Cách 2: Gọi

là vế trái của phương trình (1). Ta có:

;

trong bốn số

luôn tồn tại hai số có tích không dương. Dẫn đến phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Ví dụ 8: Cho a,b,c thỏa mãn:

. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm:

.

Giải:
Cách 1:
* Nếu

có nghiệm.
* Nếu

, ta có:

có nghiệm.
Cách 2: Ta có:

có nghiệm.
Nhận xét:
Với cách giải thứ 2 thì việc khó nhất là phải chứng minh được đẳng thức :

. Vấn đề là làm sao biết cách xét

và nhân thêm các hệ số 2 và 4. Liệu ngoài hai giá trị

ta còn có những giá trị nào khác hay không? Câu trả lời là có, chẳng hạn ta xét

.
Ta cần xác định các hệ số

sao cho:

. Đồng nhất các hệ số ta có hệ phương trình :

.
Vậy ta có:

trong ba số

tồn tại một số không âm và một số không dương, dẫn đến tích hai số đó không dương hay phương trình có nghiệm.
2) Vậy bài toán tổng quát đặt ra là m, n, p thỏa mãn điều kiện gì để nếu có

thì phương trình

có nghiệm? Để giải bài toán này ta dùng cách giải thứ nhất. Lời giải bài toán này xin dành cho bạn đọc.

Ví dụ 9: Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn:

và

. Chứng minh rằng phương trình :

(1) có nghiệm

.

Giải:
Để chứng minh (1) có nghiệm

, ta sẽ chỉ ra có các số thực

sao cho

.
Vì

và có giả thiết

nên dẫn đến ta xét

.
Mặt khác từ :

* Xét

Nếu

là đa thức không, do đó f(x) sẽ có nghiệm trong (0;1)
Nếu

, từ giả thiết

và

* Xét

, ta có:

có nghiệm

.
Chú ý : 1) Nhiều bạn gặp sai lầm khi suy ra ngay :

mà không chú ý đến

có khác 0 hay không ?
Từ bài toán trên, ta có thể thay đổi hình thức của m,n,p để thu được những bài toán khác. Một trường hợp riêng của bài toán trên mà ta thường gặp là :
Cho các số thực a,b,c và số tự nhiên

thỏa mãn:

. Chứng minh phương trình :

có nghiệm

.
2) Ở trên ta đã giải quyết bài toán chứng minh một phương trình bậc hai có nghiệm bằng cách chứng minh

. Tức là nếu có

thì phương trình bậc hai có nghiệm. Vậy điều ngược lại thì sao? Tức là nếu phương trình bậc hai có nghiệm thì

, điều này có giúp ích gì cho chúng ta hay không ?

Ví dụ 10: Cho các số thực a, b, c, d, p, q thỏa mãn:

. Chứng minh rằng:

.

Giải: BĐT cần chứng minh :

Nhìn vào VT của BĐT gợi cho ta nhớ đến biệt thức

, tức là phương trình :

có nghiệm.
Dĩ nhiên là cách chứng minh không thể dùng

. Do vậy ta nghĩ đến sẽ
chỉ ra có một số thực

nào đó sao cho :

(*).
Vấn đề là

là số nào ? Trước hết ta viết phương trình lại như sau:

.
Điều này gợi ý cho chúng ta

và khi đó

, do vậy để có (*) thì ta phải có :

? điều này ta chưa có ! Tuy nhiên từ đầu tới giờ có một giả thiết mà ta chưa sử dụng tới đó là :

, ta sẽ viết giả thiết này dưới một dạng khác (làm sao có lợi nhất):

từ đây ta suy ra được trong hai số

có ít nhất một số dương, không mất tính tổng quát, ta giả sử số đó là

( Nếu

thì trong phương trình trên ta đổi vị trị của hai số đó cho nhau). Dẫn đến ta có lời giải như sau:
Ta có:

trong hai số

và

có ít nhất một số dương, ta giả sử

. Xét tam thức:

.
Ta có:

luôn có nghiệm hay :

(đpcm).

Nhận xét: Từ ví dụ trên ta rút ra nhận xét:
Nếu BĐT cần chứng minh có dạng

(hoặc

) thì ta có
thể chứng minh tam thức

(hoặc

) luôn có nghiệm với lưu ý là: nếu có một số thực m sao cho

( Hoặc tồn tại hai số thực

sao cho

) thì tam thức luôn có nghiệm. Khi đó ta có:

.

Tiếp theo chúng ta đi xét một số ứng dụng của định lí viet

Ví dụ 11: Giả sử

là hai nghiệm của phương trình :

. Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

;

.

Giải: Trước hết phải kiểm tra xem phương trình đã cho có nghiệm hay không?
Ta có:

PT đã cho luôn có hai nghệm phân biệt.
Bài toán yêu cầu tính giá trị của các biểu thức chứa hai nghiệm mà không bắt buộc chúng ta xác định hai nghiệm này ? Có vẻ đây là điều phi lí ?! Nhưng các bạn bình tĩnh xem lại có định lí hay công thức nào mà không cần tìm hai nghiệm nhưng ta vẫn tính được biểu thức chứa hai nghiệm ? Chắc không mấy khó khắn các bạn sẽ trả lời được, đó chính là hệ thức Viét:

. Do vậy để tính giá trị các biểu thức trên ta cần phân tích các biểu thức trên qua tổng và tích hai nghiệm . Ta có:

(vì

)

Chú ý : 1) Ta thấy các biểu thức

ở trong bài toán trên có một tính chất là khi ta đổi vị trị của hai nghiệm thì biểu thức không thay đổi và các biểu thức đó được gọi là biểu thức đối xứng của hai nghiệm. Cụ thể ta có định nghĩa sau: “Biểu thức F(x1,x2) gọi là biểu thức đối xứng nếu

”.
Một tính chất quan trọng của biểu thức đối xứng là: “Mọi biểu thức đối xứng luôn biểu diễn được qua S (tổng hai nghiệm) và P (tích hai nghiệm)”.
Ta xét một số biểu diễn cơ bản sau:
*

2) Đặt

, khi đó ta có :

Hay:

.
Dựa vào đẳng thức này ta sẽ tính được

…
Từ sự phân tích qua tổng và tích hai nghiệm ở trên giúp ta giải một số bài toán liên quan đến biểu thức các nghiệm của phương trình bậc hai.

Ví dụ 13: Gọi

là hai nghiệm của phương trình :

1) Tính

theo a.
2) Tìm đa thức bậc 5 hệ số nguyên nhận số

là nghiệm.

Giải:
1) Ta có:

.
2) Đặt

là hai nghiệm của phương trình :

.
Vậy đa thức cần tìm là:

.

Ví dụ 14: Tìm m để PT :

1) Có hai nghiệm, khi đó hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
2) Có hai nghiệm không âm.

Giải:
1) Phương trình có hai nghiệm

Khi đó theo định lí Viet ta có:

đây là hệ thức cần tìm.
2) Phương trình có hai nghiệm không âm

.
Vậy

là những giá trị cần tìm.

Chú ý : 1) Để xét dấu của hai nghiệm ta đi xét dấu tổng và tích của chúng
* Hai nghiệm trái dấu

* Hai nghiệm cùng dấu

* Hai nghiệm cùng dương

* Hai nghiệm cùng âm

.
2) Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số là hệ thức mà trong đó chỉ có mặt

và hằng số mà không có tham số. Để tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m ta sử dụng định lí Viet, rồi khử m trong hệ

ta được hệ thức cần tìm.

Ví dụ 15: Tìm m để phương trình

có 2 nghiệm

và biểu thức:

đạt giá trị lớn nhất .

Giải:
Phương trình có nghiệm

(*) . Khi đó theo định lí Viet:

.
Ta có:

(do (*))

đạt được khi

.
Vậy

là giá trị cần tìm.
Ví dụ này nhắc nhở chúng ta khi sử dụng định lí Viet, đó là ta phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Nếu bài toán trên không hạn chế miền xác định của m (bất đẳng thức (*)) thì ta sẽ không tìm được max của Q.

Ví dụ 16: Tìm m để phương trình

có hai nghiệm phân biệt

. thỏa mãn:

Giải: Trước hết phương trình phải có hai nghiệm khác 0 nên:
[IMG]http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20% 5CDelta%20%27%20=%20%7Bm%5E2%7D%20+%204m%20+%201%2 0%3E%200%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D=%20%5 Cfrac%7B%7B%7Bm%5E2%7D%20-%204m%20+%201%7D%7D%7B3%7D%20%5Cne%200%20%5C%5C%20 %20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.%5CLeftrightarrow %20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%7Bm%5E2 %7D%20+%204m%20+%201%20%3E%200%20%5C%5C%20%20%7Bm% 5E2%7D%20-4m%20+%201%20%5Cne%200%20%5C%5C%20%20%5Cend%7Bmatr ix%7D%20%5Cright.%7B%5Crm%7B%20%20%20%28*%29%7D%7D[/IMG].
Khi đó theo định lí Viet ta có:

Ta có:

(Do

)

. Thay vào (*) ta thấy

không thỏa mãn
Vậy

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 17: Chứng minh rằng phương trình :

) lần nghiệm kia khi và chỉ khi

. (1) có hai nghiệm và nghiệm này gấp k (

Giải:
* Giả sử (1) có hai nghiệm

và nghiệm này gấp k lần nghiệm kia thì ta có:

.
* Giả sử

, ta chỉ cần chứng minh (1) có nghiệm là được.
Ta có:

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 18: Tìm m để đồ thị hàm số

cắt đường thẳng

tại hai điểm phân biệt

sao cho

.

Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm:

.
Đồ thị hàm số cắt đường thẳng

tại hai điểm phân biệt A,B

(1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

,
trong đó x1, x2 là hai nghiệm của (1).

thỏa mãn (*)
Vậy

là những giá trị cần tìm.
Ví dụ 19: Gọi

là hai nghiệm của phương trình :

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.

Giải:
Ta có:

phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo định lí Viet thì:

.
Ta có

Đẳng thức xảy ra khi

. Vậy

.
Ví dụ 20: Giả sử phương trình bậc hai

có hai nghiệm thuộc

. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

.

Giải: Vì giả thiết của phương trình liên quan đến miền xác định của hai nghiệm nên ta biểu diễn biểu thức Q qua hai nghiệm của phương trình .
Gọi

là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có: